Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

Arrastrando el punto P con el ratón puede verse como evolucionan las principales razones trigonométricas de un ángulo.La longitud de los segmentos rojo, verde y morado representan los valores del seno, coseno y tangente respectivamente. Pero no hay que olvidarse de añadir el signo en función del cuadrante al que pertenezca el ángulo.

Interpretación gráfica de la derivada

Antes de utilizar la animación conviene recordar el concepto de derivada. La derivada de una función en un punto cualquiera no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente en ese punto (la pendiente de una recta indica cuánto aumenta o disminuye el valor de la y cuando se incrementa el valor de la x en una unidad). Por tanto, si queremos obtener la derivada de una función no en un punto concreto sino en todos los números reales deberemos repetir el proceso muchas veces.

La animación hace precisamente eso, representa el valor de la pendiente de la recta tangente para cada valor de x en color gris (al desplazar el deslizador x de la derivada)

Pero antes de todo es preferible desplazar el deslizador x de la función para representar la función que hemos introducido en la casilla. Al desplazar este deslizado se pede ver como la recta tangente cambia para cada punto de la función y por tanto también cambia su pendiente.

Nota: para representar tanto la función como su derivada se debe hacer click sobre cada deslizador y desplazarlo con las teclas izquierda y derecha del teclado.

Sistema de ecuaciones lineales

En el siguiente applet puede verse como los sitemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden resolverse de manera gráfica. Cada una de las ecuaciones representa una recta y la solución del sistema es el punto de intersección de ambas rectas (un valor de la x y otro de la y).



¿Qué ocurrirá si las dos rectas tienen la misma pendiente?

La elipse

En el siguiente applet puedes construir una elipse a partir de dos parámetros: - Distancia focal - Longitud del segmento i (que une el foco A con los puntos de la elipse)

Desplazando el punto verde con el ratón se puede comprobar cómo para cualquier elipse la suma de los segmentos i y j es la misma para todos los puntos de la elipse.



En este enlace se peude acceder al applet de Geogebra con mayor calidad de imagen.

Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias

Para ver la imagen con mayor calidad se puede acceder al archivo a través de este enlace.

Proyecto: Puente de palillos

1. Introducción

En ingeniería de la construcción las estructuras diseñadas mediante triangulación son muy habituales dada su sencillez y las buenas propiedades mecánicas que presentan. Esto se debe a que los esfuerzos de tracción y compresión se reparten entre las barras de la estructura muy eficientemente. Algunos ejemplos de este tipo de estucturas son:

(1. Cercha de madera, 2. Puente ferroviario de metal, 3. Base de la Torre Eiffel, 4. Torre eléctrica)

Es fácil observar como gracias a la triangulación se pueden obtener estructuras rígidas e indeformables. De hecho el triángulo es el único polígono indeformable por lo que puede ser sometido a cualquier esfuerzo sin variar su geometría. Para comprobar este hecho en la siguiente applet se puede ver cómo el cuadrilátero que no se ha triangulado puede deformarse (desplazando la rótula roja). Mientras que el que se ha triangulado con una bara diagonal es completamente indeformable.

Cualquier polígono de más de 3 lados necesitará una o más barras para hacer que sea indeformable (un cuadrado una, un pentágono dos, un hexágono tres...). Por tanto, la triangulación consiste en dividir un polígono de más de 3 lados en varios triángulos indeformables.

2. Explicación del trabajo

Se trata de un proyecto para un curso de 3º de la ESO en el que los alumnos deberán construir físicamente la estructura de un puente con palillos de madera haciendo uso de la triangulación. Se deberán formar grupos (aleatorios o libres) de unos 3 componentes los cuales deberán completar las 3 fases del proyecto:

1. Diseño de la estructura
2. Construcción de la estructura
3. Documentación del proyecto (redacción de una memoria final)

El reparto de tareas entre los miembros de cada equipo será libre.

El día siguiente a la fecha límite de entrega se realizará en clase una competición para comprobar al resistencia de las estructuras. Se colocarán dos pupitres separados una distancia de 50cm sobre los que se apoyarán los dos extremos del puente. Tras esto se comenzará a cargar el puente con pesos de 500 gramos. En la calificación se tendrá en cuenta tanto el resultado de la competición como otros aspectos que se indican en la rúbrica de evaluación.

3. Competencias, contenidos y objetivos

De las competencias propuestas en el BOE para la Educación Secundaria, en este proyecto se desarrollarán:

• Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (aplicación de conocimientos de tecnología).
• Aprender a aprender (trabajo autónomo).
• Competencias sociales y cívicas (trabajo en grupo).

Entre los contenidos establecidos por el BOCM para 3º ESO, que se pretenden cubrir con esta actividad, encontramos los siguientes:

• Formulación de un proyecto tecnológico. Identificación del problema. Análisis de su natrualeza.
• Innovación y creatividad para la búsqueda de soluciones tecnológicas.
• Diseño y representacion gráfica de los elementos de un proyecto tecnológico.
• Documentación de un proyecto para la elaboración de un prototipo tecnológico.

A los cuales les corresponden los siguientes estándares de aprendizaje (u objetivos específicos):

• Enumera las fases principales del proyecto tecnológico y planifica adecuadamente su desarrollo.
• Utiliza herramientas de gestión de proyectos (por ejemplo representaciones Gantt) para organizar su proyecto.  
•  Proyecta con autonomía y creatividad, individualmente y en grupo, problemas tecnológicos trabajando de forma ordenada y metódica desde la fase de análisis del problema hasta la evaluación del funcionamiento del prototipo fabricado incluyendo su documentación. 
• Utiliza software de diseño CAD y modelado en 3D para los planos. 
• Realizar dibujos geométricos (vistas, acotaciones, representaciones a escala) con instrumentos manuales y con software de diseño gráfico en 2 dimensiones.

4. ¿Cómo se construye el puente?

Material necesario

(Bastantes palillos y cola para madera de secado rápido)

Base de la construcción

A continuación se representan las 6 vistas de un elemento básico con el que se puede construir el modelo:

(Representación en sistema diédrico)

Este elemento está compuesto de 5 semioctaedros, cuatro apoyados con la base sobre el suelo y el quinto con e vértice apoyado en el suelo.

En el siguiente applet puede girar las vistas con el ratón para visualizar mejor la construcción:

¿Cómo se debe construir este tipo de entramado?

A continuación se muestran los pasos convenientes:

Los alumnos podrán utilizar este u otros entramados para sus proyectos, pero en cualquier caso deberan incluir en el informe final la representación gráfica de las geometrías utilizadas.

Ejemplo de puente: Dibujo en perspectiva

(Varias vistas en perspectiva del mismo puente)

5. Normas para el proyecto

• Únicamente se podrán utilizar los materiales indicados anteriormente.
• Las dimensiones del puente en planta no serán superiores a 70cm de largo y 30cm de ancho.
• La fecha límite de entrega es el 19 de Diciembre de 2016 (3 semanas de trabajo).

6. Criterios de evaluación

Para evaluar este proyecto se tendrá en cuenta tanto el resultado de la competición como el informe final obligatorio que deberá entregar cada grupo. Los pesos en la calificación serán los siguientes:

• Resultado de la competición: 50%
• Elaboración de la memoria final: 50%

En cuanto a la competición se valoraran los siguientes aspectos (se calificará mediante rúbrica):

1. La resistencia mecánica de la estructura.
2. El acabado final.
3. La originalidad del diseño.
4. La documentación aportada

Por otra parte, en el informe final se valorarán los siguientes aspectos:

• Formulación del problema.
• Distinción y desarrollo de las fases del proyecto: diseño y construcción. Se recomienda realizar un diagrama de Gantt del proceso.
• Presentación de la solución final.
• Conclusión y aspectos a mejorar.

Círculo de Goethe

Goethe, en su estudio sobre el color atribuyó emociones y comportamientos humanos a los colores. Estos atributos todavía hoy tienen influencia en la teoría del color, aunque no se puede considerar algo absoluto puesto que existe un alto grado de subjetividad al respecto.

Abajo se muestra una representación artística del círculo de Goethe, donde se representan los colores primarios, secundarios y terciarios:

Los siguientes son los atributos que Goethe relacionó con cada color.

Amarillo: es el color más cercano a la luz. Siempre lleva consigo la naturaleza de brillo, tiene un carácter suave, emocionante y sereno. Por otro lado es muy susceptible a la contaminación por lo que produce un efecto muy desagradable y negativo al mancharse.

Azul: tiene un principio de la oscuridad en él. Este color tiene un efecto peculiar y casi indescriptible en el ojo. En su pureza más alta es una negación estimulante. Indica, por tanto, una especie de contradicción entre la excitación y reposo.

Rojo: el efecto de este color es tan peculiar como su naturaleza. Transmite una sensación de gravedad y dignidad, y al mismo tiempo de gracia y atractivo. El primero en su estado oscuro y profundo, en el último en su luz atenuada.

Violeta: es el color de la madurez y la experiencia. En un matiz claro expresa profundidad, misticismo, misterio, melancolía, es el color de la magia; en su tonalidad púrpura es símbolo de realeza y dignidad.

Naranja: es la mezcla de amarillo y rojo, tiene las cualidades de ambos, aunque en menor grado. Es el color de la energía, un color para temperamentos primarios, que gusta a niños, bárbaros y salvajes porque refuerza sus tendencias naturales al entusiasmo y a la euforia…

Verde: es reconfortante, libera al espíritu y equilibra las sensaciones. El ojo experimenta un estado de agrado cuando lo observa.

(Fuente: https://hipertextual.com/2015/04/teoria-del-color-goethe)

Ilustración del poeta y científico alemán Johann Wolfgang von Goethe

(Fuente de la imagen: https://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_del_color)