Proyecto: Puente de palillos

1. Introducción

En ingeniería de la construcción las estructuras diseñadas mediante triangulación son muy habituales dada su sencillez y las buenas propiedades mecánicas que presentan. Esto se debe a que los esfuerzos de tracción y compresión se reparten entre las barras de la estructura muy eficientemente. Algunos ejemplos de este tipo de estucturas son:

(1. Cercha de madera, 2. Puente ferroviario de metal, 3. Base de la Torre Eiffel, 4. Torre eléctrica)

Es fácil observar como gracias a la triangulación se pueden obtener estructuras rígidas e indeformables. De hecho el triángulo es el único polígono indeformable por lo que puede ser sometido a cualquier esfuerzo sin variar su geometría. Para comprobar este hecho en la siguiente applet se puede ver cómo el cuadrilátero que no se ha triangulado puede deformarse (desplazando la rótula roja). Mientras que el que se ha triangulado con una bara diagonal es completamente indeformable.

Cualquier polígono de más de 3 lados necesitará una o más barras para hacer que sea indeformable (un cuadrado una, un pentágono dos, un hexágono tres...). Por tanto, la triangulación consiste en dividir un polígono de más de 3 lados en varios triángulos indeformables.

2. Explicación del trabajo

Se trata de un proyecto para un curso de 3º de la ESO en el que los alumnos deberán construir físicamente la estructura de un puente con palillos de madera haciendo uso de la triangulación. Se deberán formar grupos (aleatorios o libres) de unos 3 componentes los cuales deberán completar las 3 fases del proyecto:

1. Diseño de la estructura
2. Construcción de la estructura
3. Documentación del proyecto (redacción de una memoria final)

El reparto de tareas entre los miembros de cada equipo será libre.

El día siguiente a la fecha límite de entrega se realizará en clase una competición para comprobar al resistencia de las estructuras. Se colocarán dos pupitres separados una distancia de 50cm sobre los que se apoyarán los dos extremos del puente. Tras esto se comenzará a cargar el puente con pesos de 500 gramos. En la calificación se tendrá en cuenta tanto el resultado de la competición como otros aspectos que se indican en la rúbrica de evaluación.

3. Competencias, contenidos y objetivos

De las competencias propuestas en el BOE para la Educación Secundaria, en este proyecto se desarrollarán:

• Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (aplicación de conocimientos de tecnología).
• Aprender a aprender (trabajo autónomo).
• Competencias sociales y cívicas (trabajo en grupo).

Entre los contenidos establecidos por el BOCM para 3º ESO, que se pretenden cubrir con esta actividad, encontramos los siguientes:

• Formulación de un proyecto tecnológico. Identificación del problema. Análisis de su natrualeza.
• Innovación y creatividad para la búsqueda de soluciones tecnológicas.
• Diseño y representacion gráfica de los elementos de un proyecto tecnológico.
• Documentación de un proyecto para la elaboración de un prototipo tecnológico.

A los cuales les corresponden los siguientes estándares de aprendizaje (u objetivos específicos):

• Enumera las fases principales del proyecto tecnológico y planifica adecuadamente su desarrollo.
• Utiliza herramientas de gestión de proyectos (por ejemplo representaciones Gantt) para organizar su proyecto.  
•  Proyecta con autonomía y creatividad, individualmente y en grupo, problemas tecnológicos trabajando de forma ordenada y metódica desde la fase de análisis del problema hasta la evaluación del funcionamiento del prototipo fabricado incluyendo su documentación. 
• Utiliza software de diseño CAD y modelado en 3D para los planos. 
• Realizar dibujos geométricos (vistas, acotaciones, representaciones a escala) con instrumentos manuales y con software de diseño gráfico en 2 dimensiones.

4. ¿Cómo se construye el puente?

Material necesario

(Bastantes palillos y cola para madera de secado rápido)

Base de la construcción

A continuación se representan las 6 vistas de un elemento básico con el que se puede construir el modelo:

(Representación en sistema diédrico)

Este elemento está compuesto de 5 semioctaedros, cuatro apoyados con la base sobre el suelo y el quinto con e vértice apoyado en el suelo.

En el siguiente applet puede girar las vistas con el ratón para visualizar mejor la construcción:

¿Cómo se debe construir este tipo de entramado?

A continuación se muestran los pasos convenientes:

Los alumnos podrán utilizar este u otros entramados para sus proyectos, pero en cualquier caso deberan incluir en el informe final la representación gráfica de las geometrías utilizadas.

Ejemplo de puente: Dibujo en perspectiva

(Varias vistas en perspectiva del mismo puente)

5. Normas para el proyecto

• Únicamente se podrán utilizar los materiales indicados anteriormente.
• Las dimensiones del puente en planta no serán superiores a 70cm de largo y 30cm de ancho.
• La fecha límite de entrega es el 19 de Diciembre de 2016 (3 semanas de trabajo).

6. Criterios de evaluación

Para evaluar este proyecto se tendrá en cuenta tanto el resultado de la competición como el informe final obligatorio que deberá entregar cada grupo. Los pesos en la calificación serán los siguientes:

• Resultado de la competición: 50%
• Elaboración de la memoria final: 50%

En cuanto a la competición se valoraran los siguientes aspectos (se calificará mediante rúbrica):

1. La resistencia mecánica de la estructura.
2. El acabado final.
3. La originalidad del diseño.
4. La documentación aportada

Por otra parte, en el informe final se valorarán los siguientes aspectos:

• Formulación del problema.
• Distinción y desarrollo de las fases del proyecto: diseño y construcción. Se recomienda realizar un diagrama de Gantt del proceso.
• Presentación de la solución final.
• Conclusión y aspectos a mejorar.

Círculo de Goethe

Goethe, en su estudio sobre el color atribuyó emociones y comportamientos humanos a los colores. Estos atributos todavía hoy tienen influencia en la teoría del color, aunque no se puede considerar algo absoluto puesto que existe un alto grado de subjetividad al respecto.

Abajo se muestra una representación artística del círculo de Goethe, donde se representan los colores primarios, secundarios y terciarios:

Los siguientes son los atributos que Goethe relacionó con cada color.

Amarillo: es el color más cercano a la luz. Siempre lleva consigo la naturaleza de brillo, tiene un carácter suave, emocionante y sereno. Por otro lado es muy susceptible a la contaminación por lo que produce un efecto muy desagradable y negativo al mancharse.

Azul: tiene un principio de la oscuridad en él. Este color tiene un efecto peculiar y casi indescriptible en el ojo. En su pureza más alta es una negación estimulante. Indica, por tanto, una especie de contradicción entre la excitación y reposo.

Rojo: el efecto de este color es tan peculiar como su naturaleza. Transmite una sensación de gravedad y dignidad, y al mismo tiempo de gracia y atractivo. El primero en su estado oscuro y profundo, en el último en su luz atenuada.

Violeta: es el color de la madurez y la experiencia. En un matiz claro expresa profundidad, misticismo, misterio, melancolía, es el color de la magia; en su tonalidad púrpura es símbolo de realeza y dignidad.

Naranja: es la mezcla de amarillo y rojo, tiene las cualidades de ambos, aunque en menor grado. Es el color de la energía, un color para temperamentos primarios, que gusta a niños, bárbaros y salvajes porque refuerza sus tendencias naturales al entusiasmo y a la euforia…

Verde: es reconfortante, libera al espíritu y equilibra las sensaciones. El ojo experimenta un estado de agrado cuando lo observa.

(Fuente: https://hipertextual.com/2015/04/teoria-del-color-goethe)

Ilustración del poeta y científico alemán Johann Wolfgang von Goethe

(Fuente de la imagen: https://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_del_color)

Mecanismos de transformación del movimiento

A continuación se muestran algunos mecanismos que permiten transformar movimiento rotatorio en movimiento lineal y viceversa (en todos los casos el comportamiento es reversible).

Se pueden variar los parámetros de diseño para ver cómo influyen en el comportamiento de los mecanismos. 

Mecanismo biela-manivela:

Mecanismo biela-excéntrica:

Funcionamiento de una locomotora:

Yugo escocés:

Tecnología Programación y Robótica: Proyecto de un circuito de carrera.

En esta entrada se presenta un proyecto de trabajo en equipo para la asignatura de Tecnología, Programación y Robótica que consiste en la construcción de un circuito de carreras.

• Primera parte:

En primer lugar se pide diseñar un plano simplificado del circuito (se representará la línea media del mismo), utilizando tangencias entre rectas y arcos de circunferencia.

Los requisitos son que el circuito debe constar de:

- 3 tramos rectos (segmentos).

- 4 curvas (arcos de circunferencia).

El resultado podría ser algo similar a esto:

(Ejemplo de plano del circuito)

Nota: los tramos rectos están marcados con rojo y las curvas con naranja. Además los puntos de tangencia se indican con círculos negros y los centros de los arcos de circunferencia con círculos azules.

En el diseño del circuito se han dejado algunos grados de libertad (puntos móviles) para que cada grupo pueda modificarlo y elegir el diseño que prefiera, manteniéndose en todo momento las tangencias obligatorias. Para cambiar la forma basta con desplazar los deslizadores en el siguiente archivo:

Como puede observarse, dependiendo de la posición de los deslizadores algunas partes del circuito se superponen. Si se opta por esta opción el circuito deberá construirse a dos alturas, lo que obligará a incluir uno o más puentes en su diseño. Dado que esto supone una dificultad adicional se valorará muy positivamente en la calificación.

• Segunda parte:

Una vez elegido el diseño, cada alumno deberá fabricar físicamente un modelo del circuito con las siguientes características físicas:

- Las dimensiones máximas serán: 50 x 50 cm.
- El peso del modelo será inferior a 1Kg.

La evaluación y calificación del proyecto se hará de acuerdo a los siguientes criterios:

(Rúbrica de evaluación)

Además el modelo deberá estar concluido en un plazo de 3 semanas y su presupuesto no podrá superar los 20€.

¡MUCHO ÁNIMO!

El movimiento parabólico

En esta entrada se estudiará el movimiento parabólico, que no es otro que el que describen los objetos que son lanzados en presencia de un campo gravitatorio uniforme (igual en todos los puntos del espacio) siempre y cuando se desprecie el efecto del rozamiento. En otras palabras, cualquier proyectil que sea lanzado en la Tierra o en cualquier otro planeta, si se desprecia la oposición que ejerce el aire en su desplazamiento, describirá una parábola.

El movimiento parabólico se puede entender como la composición (la suma) de dos movimientos:

1. Un movimiento rectilíneo uniforme horizontal.
2. Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (debido a la gravedad) vertical.

El siguiente gif presenta la trayectoria que sigue un proyectil que es lanzado a una velocidad de 10m/s con una inclinación de 45º en un planeta ficticio cuya gravedad vale 2.5m/s2 (en la superficie de la Tierra vale aproximadamente 9.8m/s2).

(Pulsa sobre la imagen agrandarla)

Podemos observar cómo en dicho planeta el proyectil llegaría a una distancia de 40 metros.

Volviendo a la teoría, para definir la trayectoria de un proyectil es necesario definir:

• La posición desde la que se lanza (el punto (0,0) en el ejemplo anterior).
• La velocidad (módulo) con que es lanzado.
• La inclinación con que se lanza.
• La aceleración (gravedad) a la que es sometido.

En este archivo se pueden variar todos estos parámetros para ver cómo cambia la trayectoria del proyectil. Una vez escogidos los valores se debe desplazar el deslizador del tiempo (seleccionándolo y presionando la flecha izquierda del teclado).

Si nos fijamos en las velocidades del proyectil (flechas azules) en cada instante de tiempo, podemos comprobar que la velocidad horizontal es siempre la misma, mientras que la vertical varía a lo largo del tiempo (debido al efecto de la gravedad). El momento en que la velocidad vertical se hace nula coincide con la máxima altura que alcanza el proyectil.

La velocidad total del objeto se obtiene sumando (vectorialmente) la velocidad horizontal y la vertical.

Otro hecho a tener en cuenta es que la velocidad total del objeto se da cuando alcanza el punto más alto, debido a que en dicho punto únicamente posee velocidad horizontal, mientras que en cualquier otro instante a la velocidad horizontal se le suma la velocidad vertical correspondiente. Por tanto el proyectil va perdiendo velocidad desde que es lanzado hasta que alcanza el máximo de altura y tras esto comienza a ganar velocidad progresivamente hasta que cae sobre la superficie.

• Curiosidades

¿Cuál es la inclinación para la cual el proyectil llega a mayor distancia? Veamos qué ocurre cuando fijamos la posición del lanzamiento, la velocidad y la aceleración, pero vamos variando la inclinación del lanzamiento:

Así es, la respuesta es 45º. Por tanto, en las pruebas de lanzamiento de balon medicinal si consigues lanzarlo a 45º respecto del suelo tendrás mucho ganado.

Y ¿cuál es la inclinación para la cual el proyectil alcanza la mayor altura? En la siguiente imagen se ve el resultado de variar progresivamente la inclinación de lanzamiento, desde los 10º hasta los 90º.

Efectivamente, cuanto mayor es la inclinación mayor es la altura que se alcanza y la mayor altura se logra cuando se lanza el objeto verticalmente.

Otra pregunta, ¿qué ocurre si lanzas un proyectil con la misma velocidad e inclinación pero lo haces en diferentes planetas del Sistema Solar? Hay que tener en cuenta que cada planeta posee una aceleración de la gravedad distinta, en algunos casos es mayor que la de la Tierra (en Jupiter por ejemplo) y en otros casos menor (como en Marte o Saturno):

El centro instantáneo de rotación, la base y la ruleta

En mecánica se dice que un sólido tiene un movimiento plano cuando las trayectorias de cada uno de sus puntos están contenidas en un plano. En esta entrada se estudiará cómo puede describirse dicho movimiento de manera gráfica, para lo cual hay que recurrir a los conceptos de base y ruleta.

Antes de continunar conviene aprender qué es el centro instantáneo de rotación (CIR). El CIR de un sólido que describe un movimiento plano es un punto (que puede pertenecer al propio sólido o no) entorno al cual el cuerpo gira en cada instante de tiempo. Puede obtenerse gráficamente como la intersección de las rectas perpendiculares a las velocidades de todos los puntos del sólido. Como todas las perpendiculares se cortarán en el mismo punto basta con utilizar 2 cualquiera de las infinitas que existen.

A continuación se presenta el caso sencillo de un disco que gira entorno a su eje:

En este caso dichas perpendiculares se cortan en el propio centro del disco y eso se sumple para cualquier instante de tiempo. El hecho de que el CIR no varíe su posición en este caso se debe a que se trata de un movimiento de rotación pura, por lo que el sólido (el disco) gira en todo momento entorno a un único punto.

Abajo se representa el CIR de dos movimientos distintos, el de una barra que desliza en un caso apoyada en una pared recta y en el otro sobre una circunferencia:

En estos 2 casos puede verse como el CIR ya no se encuentra siempre en la misma posición, debido a que se trata de movimientos que combinan la rotación con la traslación. De hecho, si se estudia un movimiento de traslación puro, se observa que todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad y el CIR se encuentra en el infinito. Es decir, se puede decir que el sólido describe una circunferencia de radio infinito.

En los vídeos anteriores se calcula el CIR en todo momento como la intersección de 2 velocidades únicamente, las de los extremos de la barra, ya que en dichos puntos resulta sencillo visualizar el vector velocidad. Sin embargo, si se utilizaran otros puntos cualquiera del sólido se podría comprobar cómo las perpendiculares a sus velocidades se cortan en el mismo punto exactamente.

La siguiente pregunta es ¿qué trayectoria sigue el CIR en el ejemplo anterior? A simple vista podría deducirse que sigue una trayectoria circular, pero es fácilmente comprobable si se hace que el CIR deje un rastro allá por donde pasa:

Efectivamente, en ambos casos el CIR sigue trayectorias circulares, en un caso según una circunferencia de radio igual a la mitad de la longitud de la barra y en el segundo caso de radio igual a la propia longitud de la barra.

En los siguientes archivos se puede alterar el tamaño de la barra y moverla manualmente.
- Movimiento 1
- Movimiento 2

Así hemos llegado a la idea de base del movimiento, que se define como:

Lugar geométrico de los puntos del plano fijo que han sido en algún momento centro instantáneo de rotación.

De manera similar se define la ruleta del movimiento como:

Lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en algún momento han tenido velocidad nula.

¿Veamos a que nos referimos y qué forma tiene la ruleta?

Efectivamente, en ambos movimientos la ruleta es una circunferencia, pero en el primer caso el radio es la mitad que en el segundo, igual que ocurría con la base.

Por tanto, es fácil ver cómo cualquier movimiento plano puede describirse a partir de la rodadura sin deslizamiento de la curva denominada ruleta sobre la curva denominada base. El cálculo de ambas curvas se complica a medida que se estudian movimientos más complejos, por lo que hay que recurrir a las matemáticas para su obtención.

En los siguientes archivos se puede alterar el tamaño de la barra y moverla manualmente.
- Movimiento 1
- Movimiento 2

Propuesta de actividad: construcción de un circuito

En esta entrada se explica cómo construir un circuito de carreras simplificado (se representará la línea media del mismo), utilizando tangencias entre rectas y circunferencias.

Los requisitos son que el circuito debe constar de:

- 3 tramos rectos (segmentos).

- 4 curvas (arcos de circunferencia).

El resultado debería ser algo similar a esto:

El proceso que se ha seguido para su construcción es el siguiente:

1. Se  añaden 4 puntos de referencia.
2. Se unen mediante segmentos.
3. Se trazan 4 circunferencias de centro cada uno de 4 los puntos, 2 de ellas tangentes entre sí, para que se cumplan los requisitos.
4. Se crean las intersecciones entre dichas circunferencias y los segmentos.

1. Se trazan las bisectrices de 4 ángulos del cuadrilatero.
2. Por cada una de las intersecciones se trazan perpendiculares a los segmentos.
3. Se crean las intersecciones entre las perpendiculares y las bisectrices.
4. Se ocultan los elementos innecesarios.

Tras esto únicamente queda realizar los trazos que constituyen el propio circuito con mayor grosor, para lo cual se utilizan las herramientas segmento y arco de circunferencia.

Cómo puede verse, es posible modificar la forma del circuito cambiando la posición de los puntos azules. Si quieres diseñar tu propio circuito entra en el link inferior:
Diseñar circuito

Una vez elegido el diseño, cada alumno deberá fabricar físicamente un modelo del circuito con las siguientes características físicas:

- Como material se utilizará madera (contrachapado).

- Las dimensiones máximas serán: 40 x 40 cm.

Se valorarán positivamente los siguientes aspectos (criterios de evaluacion):
- El uso de materiales reciclados.
- La ejecución de los acabados finales.
- La originalidad en el diseño y en la construcción.
- La precisión a la hora de llevar a la realidad el diseño (nivel de similitud entre el plano y el modelo)
- Incluir elementos adicionales que aporten realismo al circuito.

Además el modelo deberá estar concluido en un plazo de 3 semanas y su presupuesto no podrá superar los 20€.

Tapón mágico

En esta entrada se presenta la solución al siguiente problema...

¿Cómo construir una pieza capaz de taponar los 3 agujeros de la imagen?

Dicho tapón debe:

- Ser rígido (no de material deformable).
- Poder atravesar los agujeros completamente.

La solución se ha construido con el programa Blender como la intersección entre un cilindro (de diámetro y altura a) y un prisma triangular (de altura y lado inferior a) como se indica a continuación.

Obteniéndose la siguiente figura:

 Como puede verse en las siguientes vistas, dependiendo la dirección del espacio (x, y o z) con que se oriente la pieza se podrá tapar el agujero circular, el cuadrado o el triangular:

Ruletas cíclicas 1

Una ruleta cíclica es una curva que describe la trayectoria de un punto vinculado a una circunferencia (no tiene por qué pertenecer a ella), llamada generatriz, que rueda sobre otra curva, llamada directriz.

En esta entrada nos centraremos en los casos en que el punto pertenece a la circunferencia generatriz (ruletas cíclicas normales)

• Cicloide:

Es la curva que se obtiene cuando la directriz es una línea recta.

* Crea tus propias cicloides!

Esta curva ha cautivado a los matemáticos desde la antigüedad y se desconoce quien fue su descubridor, siendo Galileo Galilei uno de los más interesados en sus características.

Construcción de una cicloide (haga click para reanudar la animación)

La cicloide cumple dos importantes propiedades en relación con la física:

-  Es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un cuerpo que comienza en reposo en el punto inicial y que debe desplazarse hasta llegar al punto final bajo la acción de la gravedad (suponiendo que no existe fricción). Por tener esta propiedad se le denomina braquistócrona.

-  Es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamiento bajo el efecto de la gravedad hasta su punto más bajo es independiente del punto de partida. Por tener esta propiedad se le denomina tautócrona.

• Epicicloide:

Se obtiene al hacer rodar una circunferencia de radio r (generatriz) por el exterior de otra de radio R (directriz).

Construcción de una epicicloide (haga click para reanudar la animación)

Dependiendo del cociente k = R/r se obtienen diferentes curvas:

- Cuando el cociente k es un número entero:

La epicicloide de k=1 se conoce como la cardioide (por su forma de corazón) y a la de k=2 se le llama nefroide (por su forma de riñón).

-Y cuando no lo es:

* Crea tus propias epicicloides!

• Hipocicloide:

Se obtiene al hacer rodar una circunferencia de radio r (generatriz) por el interior de otra de radio R (directriz).

Construcción de una hipocicloide (haga click para reanudar la animación)

Dependiendo del cociente k = R/r se obtienen las siguientes curvas:

- Cuando el cociente k es un número entero:

La hipocicloide de k=3 se conoce como la deltoide (por su parecido con la letra griega delta) y la de k=4 como la astroide (por su forma de estrella).

-Y cuando no lo es:

* Crea tus propias hipocicloides!

Elementos notables de un triángulo

• Incentro:

Es el punto en el que se cortan las bisectrices de los 3 ángulos del triángulo.

Propiedad: es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (la que es tangente a los 3 lados).

- Ver archivo

• Circuncentro:

Es el punto en el que se cortan las mediatrices de los 3 lados del triángulo.

Propiedad: es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (la que pasa por sus 3 vértices).

- Ver archivo

• Baricentro:

Es el punto en que se cortan las medianas del triángulo.

Propiedad: en física, al baricentro de una placa triangular homogénea se le denomina centro de gravedad.

• Ortocentro:

Es el punto en que se cortan las 3 alturas de un triángulo.

Propiedad: es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo órtico (el que tiene por vértices las intersecciones de cada altura con el lado correspondiente del triángulo).

- Ver archivo

• Recta de Euler:

El baricentro, el circuncentro y el ortocentro cumplen la curiosa propiedad de pertenecer a una misma recta. Es decir, estos 3 puntos siempre se encuentran alineados para cualquier tipo de triángulo.

-Ver archivo

Si además el triángulo es equilátero, esos 3 puntos y el incentro coinciden en la misma posición.

Bienvenida

Bienvenidos a este blog de dibujo aplicado la tecnología.

Abajo a la derecha se muestra el primer ejemplo de diseño con Blender. Una bombilla creada a partir de una imagen real.